কন্টেন্ট

• ধাপ
• সতর্কবাণী

ক্যালকুলাসে, যখন আপনার জন্য একটি সমীকরণ রয়েছে Y শর্তে লিখিত এক্স (y = x -3x এর মতো), ডেরাইভেটিভটি খুঁজে পেতে প্রাথমিক পার্থক্য কৌশল (গণিতবিদরা "স্পষ্টত বিভেদ" কৌশল হিসাবে জানেন) এটি ব্যবহার করা সহজ। তবে সমীকরণের ক্ষেত্রে সমান চিহ্নের একপাশে y স্থাপন করে পুনরায় সাজানো কঠিন (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), আলাদা পদ্ধতি প্রয়োজন।অন্তর্নিহিত পৃথকীকরণ বলা একটি কৌশলটির সহায়তায় একাধিক ভেরিয়েবলের সমীকরণের ডেরাইভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ হবে, যতক্ষণ না আপনি সুস্পষ্ট পার্থক্যের প্রাথমিক ধারণাগুলি ইতিমধ্যে জেনে থাকবেন!

ধাপ

পদ্ধতি 1 এর 1: দ্রুত সরী সমীকরণ দ্রুত পার্থক্য

1. 

   
   
   পৃথক শর্তাবলী এক্স যেমন আপনি সাধারণত করবেন। X + y - 5x + 8y + 2xy = 19 এর মতো একাধিক ভেরিয়েবল থেকে কোনও সমীকরণকে আলাদা করার চেষ্টা করার সময়, কোথা থেকে শুরু করবেন তা জানা মুশকিল। ভাগ্যক্রমে, অন্তর্নিহিত পৃথকীকরণের প্রথম ধাপটি সবচেয়ে সহজ। শুরু করার জন্য, কেবল শর্তাদি সাথে আলাদা করুন এক্স এবং নিয়মিত পার্থক্য (সুস্পষ্ট) এর বিধি অনুসরণ করে সমীকরণের উভয় পক্ষের ধ্রুবকগুলি। আপাতত এই শব্দটিকে উপেক্ষা করুন Y.
   • আগের সহজ সমীকরণটি পৃথক করা যাক। X + y - 5x + 8y + 2xy = 19 সমীকরণটির দুটি পদ রয়েছে এক্স: এক্স. আমরা যদি সমীকরণকে আলাদা করতে চাই, আমাদের নীচে এটি সমাধান করতে হবে:

     x + y - 5x + 8y + 2xy = 19

     (এক্স-এক্সપોোনেন্ট "2" কে x তে কম করে এটি একটি সহগ হিসাবে স্থাপন করুন, এটি মুছে ফেলুন এক্স -5x, এবং 19 থেকে 0 পরিবর্তন করুন)

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

2. 

   
   
   এর সাথে শর্তগুলি পৃথক করুন Y এবং "(dy / dx)" প্রতিটির পাশে রাখুন। পরবর্তী পদক্ষেপে, কেবল শর্তাদি সাথে আলাদা করুন Y আপনি এক্স এর শর্তাদি যেমন করেছিলেন। এবার অবশ্য প্রত্যেকটির পাশে "(dy / dx)" যুক্ত করুন যাতে আপনি সহগ যোগ করবেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি y এর পার্থক্য করেন তবে এটি 2y (dy / dx) হয়ে যাবে। আপাতত, এক্স এবং y থাকা শর্তাদি উপেক্ষা করুন।
   • আমাদের বর্তমান উদাহরণে, সমীকরণটি এর মতো দেখাবে: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. আমরা এই y পার্থক্যটি ধাপটি নীচে অনুসরণ করব:

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

     (ঘনক্ষেত্র হিসাবে "2" কমিয়ে y এর গুণাগুণ হিসাবে রাখুন, সরিয়ে ফেলুন Y 8y তে এবং প্রত্যেকের পাশে একটি "dy / dx" রাখুন)।

     2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

3. 

   
   
   এক্স এবং y উভয় পদগুলির জন্য পণ্য বিধি বা ভাগফল নিয়ম ব্যবহার করুন। এক্স এবং y রয়েছে এমন পদগুলি সমাধান করা সামান্য জটিল, তবে আপনি যদি পণ্যের নিয়ম এবং পার্থক্য ভাগফল নিয়ম জানেন তবে আপনার কোনও সমস্যা হবে না। X এবং y পদগুলি যদি গুণিত হয় তবে পণ্যটির নিয়মটি ব্যবহার করুন ((f × g) ’= f’ × g + g × f ’), পদটি প্রতিস্থাপন করা এক্স চ এবং শব্দ দ্বারা Y by g .. অন্যদিকে, x এবং y পদগুলি যদি নিজেদের মধ্যে ভাগ করা হয় তবে ভাগফলের নিয়মটি ব্যবহার করুন ((f / g) ’= (g × f '- g' × f) / g), সংখ্যার সাথে শব্দের পরিবর্তে এফ এবং ডিনোমিনেটরে শব্দকে জি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে।
   • আমাদের উদাহরণস্বরূপ, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, উভয়ের সাথে আমাদের কেবল একটি শব্দ রয়েছে এক্স এবং Y, যা 2 অক্সি। থেকে এক্স এবং Y গুণ, আমরা নীচের হিসাবে পণ্য বিধি তাদের পৃথক করতে ব্যবহার করতে হবে:

     2 অক্সি = (2x) (y) - 2x = f এবং y = g ইন (ফ × জি) ’= এফ’ × জি + জি × ফ ’সেট করুন

     (f × g) ’= (2x)’ × (y) + (2x) × (y) ’

     (f × g) ’= (2) y (y) + (2x) × (2 ডি (ডিজি / ডিএক্স))

     (চ × জি) ’= 2y + 4xy (ডিজি / ডিএক্স)

   • আমরা যখন আবার আমাদের মূল সমীকরণ যুক্ত করব তখন আমরা তা অর্জন করব 2x + 2y (ডিজি / ডিএক্স) - 5 + 8 (ডিজি / ডিএক্স) + 2y + 4xy (ডিজি / ডিএক্স) = 0

4. 

   বিচ্ছিন্ন (dy / dx)। আপনি প্রায় শেষ করেছেন! এখন, আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল (dy / dx) সমীকরণটি সমাধান করা। এটি কঠিন মনে হয়, তবে এটি সাধারণত হয় না; শর্তাবলী যে অ্যাকাউন্টে নিতে দ্য এবং বি যেটি (dy / dx) দ্বারা গুণিত হয় (a + b) (dy / dx) হিসাবে এটি গুণকের বিতরণযোগ্য সম্পত্তিকে ধন্যবাদ জানাতে পারে This এই কৌশলটি (dy / dx) বিচ্ছিন্নকরণকে সহজ করে তুলতে পারে; কেবলমাত্র অন্যান্য সমস্ত শর্তাদি প্রথম বন্ধনীগুলির বিপরীত দিকে রেখে দিন এবং (ডিআই / ডিএক্স) এর পাশের বন্ধনীগুলিতে থাকা শর্তগুলির মধ্যে তাদের ভাগ করুন।
   • আমাদের উদাহরণস্বরূপ, আমরা 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 কে নিম্নরূপে সহজ করতে পারি:

     2x + 2y (ডিজি / ডিএক্স) - 5 + 8 (ডিজি / ডিএক্স) + 2y + 4xy (ডিজি / ডিএক্স) = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2 x + y + 4)

পদ্ধতি 2 এর 2: উন্নত প্রযুক্তি ব্যবহার

1. 

   যে কোনও সময়ে (dy / dx) সন্ধান করতে মানগুলি (x, y) সংযুক্ত করুন। অভিনন্দন! আপনি সমীকরণটি স্পষ্টভাবে পৃথক করেছেন, যা প্রাথমিকদের পক্ষে সহজ কাজ নয়! যে কোনও বিন্দুতে (xy, y) slাল (dy / dx) সন্ধান করতে এই সমীকরণটি ব্যবহার করা দুটি মানকে সংযুক্ত করার মতোই সহজ এক্স এবং Y সমীকরণের ডানদিকে অবস্থিত বিন্দুতে এবং তারপরে সমাধান করুন (dy / dx)।
   • উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা পূর্ববর্তী সমীকরণের জন্য পয়েন্টের opeাল (3, -4) সন্ধান করতে চাই। এটি করার জন্য, আমাদের সাথে 3 টি প্রতিস্থাপন করতে হবে এক্স এবং -4 প্রতি Y, নিম্নলিখিত হিসাবে সমাধান:

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2 x + y + 4)

     (dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)

     (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

     (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, বা 0.6875.

2. 

   অন্যান্য ভূমিকার মধ্যে ভূমিকার জন্য শৃঙ্খলা নিয়ম ব্যবহার করুন। যখন গণনার সমস্যাগুলি আসে (অন্তর্নিহিত পৃথকীকরণের সমস্যা সহ) তখন চেইনিং রুলটি জানা খুব গুরুত্বপূর্ণ important এই নিয়মে বলা হয়েছে যে কোনও ফাংশনের জন্য এফ (এক্স) যা (চ দ্য g) (x), এফ (এক্স) এর ডেরাইভেটিভ সমান f '(g (x)) g' (x)। আরও বেশি অসুবিধা সহীহ পৃথকীকরণ সমস্যার জন্য, এর অর্থ হল সমীকরণের বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র "অংশ" পার্থক্য করা এবং তারপরে ফলাফলটি একসাথে যুক্ত করা সম্ভব।
   • একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে ধরা যাক, আমাদের sem (3x + x) এর ডেরাইভেটিভ সন্ধান করতে হবে। যদি আমরা (3x + x) ছাড়াই "f (x)" এবং 3x + x কে "জি (এক্স)" হিসাবে বিবেচনা করি, তবে আমরা পৃথকীকরণটি নিম্নরূপে খুঁজে পেতে পারি:

     f '(g (x)) g' (x)

     (sin (3x + x)) ’× (3x + x)’

     কোস (3x + এক্স) 6 (6x + 1)

     (6x + 1) কোস (3x + এক্স)

3. 

   এক্স, y এবং z এর সাথে ভেরিয়েবল সমীকরণের জন্য সন্ধান করুন (ডিজেড / ডিএক্স) এবং (ডিজেড / ডিআই) যদিও বেসিক ক্যালকুলাসে সাধারণ না, কিছু উন্নত অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য দুটিরও বেশি ভেরিয়েবলের অন্তর্ভুক্ত পার্থক্য প্রয়োজন হতে পারে। প্রতিটি অতিরিক্ত ভেরিয়েবলের জন্য, এক্স এর প্রতি সম্মানের সাথে একটি অতিরিক্ত ডেরাইভেটিভ সন্ধান করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি x, y এবং z ভেরিয়েবলগুলির সাথে কাজ করছেন তবে আপনাকে (ডিজে / ডিওয়াই) এবং (ডিজে / ডিএক্স) সন্ধান করতে হবে। আমরা x এর সাথে দুটি ক্ষেত্রে সমীকরণকে আলাদা করতে পারি। প্রথমবার, আমরা প্রতিবার z এর সাথে একটি শব্দ আলাদা করতে এবং একটি দ্বিতীয়বার আমরা একটি জেডকে আলাদা করার সময় একটি (ডিজে / ডাই) রাখব। এর পরে, এটি সমাধানের (ডিজে / ডিএক্স) এবং (ডিজে / ডিওয়াই) কেবল বিষয় হবে।
   • উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক যে আমরা xz - 5xyz = x + y পার্থক্য করতে চাই।
   • প্রথমত, আমরা এক্স এবং স্থানের (ডিজেড / ডিএক্স) সম্মানের সাথে পার্থক্য করি। উপযুক্ত যেখানে পণ্য বিধি প্রয়োগ করতে ভুলবেন না!

     xz - 5xyz = x + y

     3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

     3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

     (2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

     (ডিজেড / ডিএক্স) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

   • এখন, আমরা (ডিজে / ডিওয়াই) এর জন্যও একই কাজ করব

     xz - 5xyz = x + y

     2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

     (2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz

     (dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)

সতর্কবাণী

• সবসময় সমীকরণের অংশগুলি সন্ধান করুন যেখানে ভাগফল বা পণ্য বিধি প্রয়োগ করা প্রয়োজন, কারণ এটি ভুলে যাওয়া খুব সহজ।