কন্টেন্ট

• ধাপ
• পরামর্শ

গণিতবিদ এবং গ্রাফিক্স প্রোগ্রামারগুলিকে প্রায়শই দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ খুঁজে পাওয়া দরকার। ভাগ্যক্রমে, এই কোণটি গণনা করতে ব্যবহৃত সূত্রটির জন্য সাধারণ স্কেলারের পণ্য ছাড়া আর কিছুই প্রয়োজন হয় না। যদিও দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর ব্যবহার করার সময় এই সূত্রের পিছনে যুক্তিটি বোঝা সহজ, আমরা সহজেই যেকোন সংখ্যক উপাদান সহ এটি ভেক্টরগুলির সাথে মানিয়ে নিতে পারি।

ধাপ

2 এর 1 ম অংশ: দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণটি গণনা করুন

1. 

   দুটি ভেক্টর শনাক্ত করুন। দুটি ভেক্টর সম্পর্কে সমস্ত জ্ঞাত তথ্য লিখুন। এই টিউটোরিয়ালটির উদ্দেশ্যে, আমরা ধরে নেব যে আপনি কেবল ভেক্টরকে তাদের মাত্রিক স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে জানেন (এটিও বলা হয় উপাদান)। আপনি যদি ইতিমধ্যে জানেন মডিউল অথবা মান এই ভেক্টরগুলির (যা তাদের দৈর্ঘ্য), আপনি নীচের কয়েকটি পদক্ষেপ এড়াতে পারেন।
   • উদাহরণ: আমরা দ্বি-মাত্রিক ভেক্টরগুলি = (2,2) এবং = (0,3) বিবেচনা করব। এই দুটি ভেক্টরকে = 2 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারেআমি + 2ঞ e = 0আমি + 3ঞ = 3ঞ.
   • যদিও আমাদের উদাহরণটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত সংস্থাগুলি সংখ্যক উপাদান সহ ভেক্টরগুলিতে প্রয়োগ করতে পারি।

2. 

   
   
   কোসাইন সূত্রটি লিখুন। যে কোনও দুটি ভেক্টরের মধ্যে angle কোণটির মানের সন্ধান করতে আমাদের প্রথমে অবশ্যই সেই কোণটির কোসাইন গণনা করতে হবে। আপনি সূত্রটি বিস্তারিতভাবে সন্ধান করতে এবং সন্ধান করতে পারেন বা নীচের মত এটি সহজভাবে লিখতে পারেন:
   • কোসθ = (•) / (|| সারণী || রেকর্ড)
   • |||| প্রতিনিধিত্ব করে মডিউল (বা দৈর্ঘ্য) ভেক্টর "।
   • • প্রতিনিধিত্ব করে স্কালে পণ্য (বা অভ্যন্তরীণ পণ্য) দুটি ভেক্টর।

3. 

   
   
   প্রতিটি ভেক্টরের মডুলাস গণনা করুন। উপাদান দ্বারা গঠিত একটি ডান ত্রিভুজ কল্পনা করুন এক্স একটি ভেক্টর এর উপাদান Y এবং ভেক্টর নিজেই। এই ত্রিভুজটিতে ভেক্টর হাইপোপেনিউজের ভূমিকা পালন করে; সুতরাং, এর দৈর্ঘ্য সন্ধান করতে আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ প্রয়োগ করব। ফলস্বরূপ, এই সূত্রটি যে কোনও সংখ্যক উপাদান সহ ভেক্টরগুলিতে সহজেই প্রযোজ্য।
   • || ইউ || = ইউ₁ + ইউ₂। যদি ভেক্টরের দুটিরও বেশি উপাদান থাকে তবে কেবল + ইউ যোগ করা চালিয়ে যান₃ + ইউ₄ +...
   • সুতরাং, একটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টরের জন্য, আমাদের করতে হবে || ইউ || = √ (ইউ₁ + ইউ₂).
   • আমাদের উদাহরণে, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার পণ্য গণনা করুন। আপনার ইতিমধ্যে ভেক্টরকে গুণিত করার পদ্ধতিটি জানা উচিত স্কালে পণ্য। দুটি ভেক্টরের স্কেলার পণ্যগুলি তাদের উপাদানগুলির ক্ষেত্রে গণনা করতে, আমরা উপাদানগুলি একে অপরের সাথে একই দিকটিতে গুণ করি এবং তারপরে সেই পণ্যগুলির ফলাফল যুক্ত করি।
   • আপনি যদি কম্পিউটার গ্রাফিক্স প্রোগ্রামগুলি নিয়ে কাজ করেন তবে এগিয়ে যাওয়ার আগে প্রথমে "টিপস" বিভাগটি দেখুন।
   • গাণিতিক ভাষায়, • = ইউ₁বনাম₁ + ইউ₂বনাম₂, যেখানে আপনি ইউ = (ইউ₁ইউ₂)। যদি আপনার ভেক্টরের দুটিরও বেশি উপাদান থাকে তবে কেবল + ইউ যোগ করা চালিয়ে যান₃বনাম₃ + ইউ₄বনাম₄...
   • আমাদের উদাহরণে, • = u₁বনাম₁ + ইউ₂বনাম₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6। এটি ভেক্টর এবং এর মধ্যে স্কেলার পণ্যটির মান।

5. 

   এই ফলাফলগুলি কোসাইন সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন। মনে রেখো, cos। = (•) / (|||| || ||)। আমরা ইতিমধ্যে স্কেলার পণ্য এবং দুটি ভেক্টরের মডিউল গণনা করেছি। এখন, আসুন সূত্রগুলিতে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন এবং কোণটির কোসাইন গণনা করুন।
   • আমাদের উদাহরণে, কোষাθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2।

6. 

   আপনার কোসিনের উপর ভিত্তি করে কোণটি সন্ধান করুন।
   আপনার কোসাইন মান থেকে কোণটি নির্ধারণ করতে আপনার ক্যালকুলেটরের আরক বা কোস ফাংশন ব্যবহার করুন। কিছু ক্ষেত্রে, আপনি ইউনিট বৃত্তের উপর ভিত্তি করে কোণ মানটি সন্ধান করতে পারবেন।
   • আমাদের উদাহরণে, cosθ = √2 / 2। কোণটি খুঁজতে আপনার ক্যালকুলেটরটিতে "আরকোস (√2 / 2)" টাইপ করুন। আরেকটি বিকল্প হ'ল ইউনিট বৃত্তের কোণ θ সন্ধান করা যেখানে কোস্ট = √2 / 2: এটি সত্য হবে θ = /₄ বা 45 °.
   • সমস্ত তথ্য একসাথে রাখলে, আমাদের চূড়ান্ত সূত্রটি থাকবে θ = আরকোসিন ((•) / (|| নাম্বার || ||))

2 অংশ 2: কোণ গণনা করার সূত্র নির্ধারণ

1. 

   সূত্রটির উদ্দেশ্য বুঝতে হবে। দুটি ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ গণনা করার জন্য আমরা যে সূত্রটি ব্যবহার করেছি তা পূর্ব-বিদ্যমান নিয়ম থেকে প্রাপ্ত নয়; পরিবর্তে, এটি দুটি ভেক্টর এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের মধ্যে স্কেলার পণ্যের সংজ্ঞা হিসাবে তৈরি করা হয়েছিল। তবে এই সিদ্ধান্তটি স্বেচ্ছাচারিতা নয়। বেসিক জ্যামিতির ঘনিষ্ঠভাবে পর্যবেক্ষণ করে আমরা দেখতে পারি কেন এই সূত্রটি এরকম দরকারী এবং স্বজ্ঞাত সংজ্ঞাতে আসে।
   • নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর ব্যবহার করে কারণ এগুলি কাজ করার জন্য সবচেয়ে স্বজ্ঞাত প্রকার। তিন বা ততোধিক ভেক্টরের ভেক্টরগুলির সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি (এছাড়াও খুব অনুরূপ উপায়ে) থেকে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়।

2. 

   কোসাইন আইন পর্যালোচনা করুন। যে কোনও ত্রিভুজে, কোণগুলি by পক্ষ দ্বারা গঠিত বিবেচনা করুন দ্য এবং বি এবং পাশ গ বিপরীত যে কোণ। কোসাইন আইন অনুসারে, c = a + b -2abকোমরবন্ধ(Θ)। এই সূত্রের প্রদর্শনটি প্রাথমিক জ্যামিতির জ্ঞান থেকে সহজেই পাওয়া যায়।

3. 

   ত্রিভুজ গঠনে দুটি ভেক্টরকে সংযুক্ত করুন। তাদের মধ্যে একটি কোণ with সহ এক জোড়া ভেক্টর আঁকুন। তারপরে ত্রিভুজ গঠনের জন্য তাদের মধ্যে তৃতীয় ভেক্টর আঁকুন। অন্য কথায়, ভেক্টরটি এমনভাবে আঁকুন যে + =, বা কেবল = -।

4. 

   এই ত্রিভুজটিতে কোসাইন আইন প্রয়োগ করুন। আমাদের পাশের দৈর্ঘ্য প্রতিস্থাপন করুন ভেক্টর ত্রিভুজ (এটি, ভেক্টর মডিউল) কোসাইন আইনের সূত্রে:
   • || (ক - খ) || = || এ || + || খ || - 2 || আ || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)

5. 

   স্কেলার পণ্য ব্যবহার করে সূত্রটি পুনরায় লিখুন। মনে রাখবেন যে ডট পণ্যটি হ'ল একটি ভেক্টরের অপর উপর প্রজেক্ট করা। কোনও ভেক্টরের স্কেলার পণ্যটি নিজেই প্রক্ষেপণের প্রয়োজন হয় না কারণ দিকের কোনও পরিবর্তন নেই। এর অর্থ • = || এ || এই তথ্যের ভিত্তিতে, আসুন কোসাইন আইনের সমীকরণটি আবার লিখি:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || একটি || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)

6. 

   সূত্রটি সরল করুন। সমীকরণের বাম দিকে পণ্যগুলি প্রসারিত করুন এবং তারপরে আপনি কোণগুলি গণনার জন্য আমাদের জানা সূত্রে পৌঁছা পর্যন্ত এটিকে সহজ করুন।
   • • - • - • + • = • + • - 2 || আ || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)
   • - • - • = -2 || একটি || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)
   • -2 (•) = -2 || এ || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)
   • • = || এ || || খ ||কোমরবন্ধ(θ)

পরামর্শ

• দ্রুত সমাধানের জন্য, কোনও দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর জোড়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রয়োগ করুন: cosθ = (u)₁ • v₁ + ইউ₂ • v₂) / (√ (ইউ₁ তুমি₂) • √ (v₁ • v₂)).
• আপনি যদি কম্পিউটার গ্রাফিক্স প্রোগ্রামগুলি নিয়ে কাজ করেন তবে আপনাকে সম্ভবত ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য নয়, কেবল দিকনির্দেশ সম্পর্কে জানতে হবে। সমীকরণগুলি সহজ করার জন্য এবং আপনার প্রোগ্রামটির গতি বাড়ানোর জন্য নীচের পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:
  • প্রতিটি ভেক্টরকে সাধারণ করুন, অর্থাৎ ইউনিট ভেক্টরটি আবিষ্কার করুন যা মূল ভেক্টরের মতো একই দিক রয়েছে। এটি করার জন্য, ভেক্টরের প্রতিটি উপাদানকে ভেক্টর মডিউল দ্বারা ভাগ করুন।
  • মূল ভেক্টর নয়, সাধারণ ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্য গণনা করুন।
  • যেহেতু সাধারণীকৃত ভেক্টরগুলির মডুলাস (এটি দৈর্ঘ্য) একক, তাই আমরা তাদের সূত্রের বাইরে রেখে দিতে পারি। কোণ গণনা করার জন্য আপনার চূড়ান্ত সমীকরণটি আর্ক (•) হবে।
• কোসাইন আইনের সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা দ্রুত জানতে পারি যে প্রশ্নে থাকা কোণটি তীব্র বা অবিচ্ছিন্ন কিনা। কোসθ = (•) / (||||
  • সমীকরণের বাম এবং ডানদিকে একই চিহ্ন থাকতে হবে (ধনাত্মক বা negativeণাত্মক)।
  • দৈর্ঘ্য যেহেতু সর্বদা ইতিবাচক থাকে তাই কোষের সর্বদা স্কেলারের পণ্য হিসাবে একই চিহ্ন থাকে।
  • সুতরাং, যদি স্কেলারের পণ্যটি ইতিবাচক হয় তবে কোসθ ইতিবাচক হবে। এর অর্থ হ'ল কোণটি ইউনিট বৃত্তের প্রথম চতুর্ভুজগুলিতে, অর্থাৎ θ <π / 2 বা 90 ° ° সুতরাং, কোণ তীব্র হয়।
  • যদি স্কেলারের পণ্যটি নেতিবাচক হয় তবে θণাত্মক। এর অর্থ হ'ল কোণটি একক বৃত্তের দ্বিতীয় চতুর্ভুজ, অর্থাৎ that / 2 <θ ≤ π বা 90 ° <θ ≤ 180 ° এ রয়েছে ° অতএব, কোণটি অবজেক্ট।